Mengapa kecairan tertumpu adalah cekap modal?

Liquidity tertumpu adalah lebih cekap modal kerana dengan peningkatan penumpuan, jumlah token yang sama dilaburkan mencipta kedalaman liquidity yang lebih besar.
Dari blog Uniswap:

Dengan menumpukan liquidity mereka, LP boleh menyediakan kedalaman liquidity yang sama seperti v2 dalam julat harga yang ditentukan sambil meletakkan modal yang jauh lebih sedikit pada risiko.

Cara tidak formal untuk mentakrifkan kecekapan modal adalah dengan melihatnya sebagai nisbah antara modal yang dilaburkan dan nilai yang dijana.

Situasi A: $1 menjana 1 unit nilai.
Situasi B: $1 menjana 2 unit nilai.

Modal dalam situasi B digunakan dengan cara yang 2 kali lebih cekap.
Fungsi utama liquidity pool adalah untuk membolehkan perdagangan berlaku.
Semua perkara lain adalah sama, sebuah pool lebih menarik untuk pedagang jika ia mempunyai liquidity yang lebih dalam, kerana liquidity yang lebih dalam -> mengurangkan kesan harga untuk perdagangan. Ini bermakna nilai (kecekapan) modal adalah lebih besar jika ia digunakan untuk mencapai kedalaman liquidity yang lebih besar dalam pool.

Beberapa analisis berasaskan matematik berikut.
Betapa tidak cekapnya pool v2? Uniswap v2 adalah automated market maker (AMM) produk malar tradisional. Liquidity L ditakrifkan dengan bantuan formula
x * y = L^2,

di mana x dan y adalah jumlah aset dalam pool. Katakan harga awal ETH adalah P0 = $2000, dan seseorang meletakkan 1 ETH dan 2000 DAI dalam pool. Dalam kes ini nilai L adalah sqrt(2000) atau lebih kurang 44.7.
Sekarang untuk harga P yang berbeza jumlah ETH dalam pool adalah sqrt(P0 / P), contohnya untuk P = $8000 pool mempunyai 0.5 ETH dan untuk P = $500 ia mempunyai 2 ETH. Ini bermakna 50% daripada modal pool dikhaskan untuk harga ETH di bawah $500 dan di atas $8000. Tambahan pula, 10% daripada modal pool dikhaskan untuk harga 100x berbeza daripada harga semasa, iaitu, di atas $200,000 dan di bawah $10 per ETH. Sudah tentu, harga ini tidak mustahil, tetapi adakah benar-benar munasabah untuk memperuntukkan sebanyak 10% modal untuk senario ekstrem ini?
Akibat daripada modal yang tersebar begitu luas adalah kesan harga perdagangan dalam pool v2 adalah tinggi melainkan jumlah modal adalah besar.
Dalam v3, LP boleh menetapkan julat harga [Pa, Pb] bagi setiap posisi, di mana Pa adalah harga minimum dan Pb harga maksimum. Liquidity maya bagi posisi / pool v3 sedemikian ditakrifkan sebagai:

Contohnya, jika seseorang percaya bahawa ETH akan berdagang dalam julat $500-$8000 mereka boleh menetapkan titik akhir julat ini dan menjadi 2x lebih cekap modal. Sahkan ini dalam kod:
L = sqrt(2000) # nilai liquidity v2 untuk posisi 1 ETH + 2000 DAI
P = 2000 # harga awal/semasa
Pa = 500 # harga minimum julat
Pb = 8000 # harga maksimum julat
# jumlah ETH untuk memadankan liquidity v2
x = L * (sqrt(Pb) - sqrt(P)) / (sqrt(Pb) * sqrt(P))
# jumlah DAI untuk memadankan liquidity v2
y = L * (sqrt(P) - sqrt(Pa))

Hasilnya adalah x=0.5 (ETH) dan y=1000 (DAI) seperti yang dijangka. 2x kurang ETH dan DAI diperlukan untuk mencapai kedalaman liquidity yang sama!
Mengembangkan ini lebih lanjut:

[P / 4, P * 4] julat harga -> 2x kecekapan modal

[P / 2, P * 2] julat harga -> 3.41x kecekapan modal[P / 1.2, P * 1.2] julat harga -> kecekapan modal 11.48x

[P / 1.1, P * 1.1] julat harga -> kecekapan modal 21.49x

[P / 1.05, P * 1.05] julat harga -> kecekapan modal 41.49x

[P / 1.01, P * 1.01] julat harga -> kecekapan modal 201.5x

Ini bermakna untuk pasangan stabil, kolam v3 boleh dengan mudah menjadi ratusan kali lebih cekap modal berbanding v2.
Untuk eksperimen lanjut, blog Uniswap juga mempunyai kalkulator interaktif yang menarik di akhir bahagian "Capital Efficiency".